上回说到，玻尔度完蜜月，9月初回到了哥本哈根，在一所不知名的技术学院谋得了一份差事，玻尔清楚他现在的主要任务，并不是给学生们上课，而是要着手解决卢瑟福遗留下来的两个问题：

第一，卢瑟福原子模型不稳定，电子在绕原子核运行的时候会释放出电磁辐射，导致电子会瞬间坠入原子核。

第二，卢瑟福没有说，电子在核外是怎样排布的，当然这时人们也不清楚元素化学性质的本质，更不知道元素周期表中的元素化学性质为啥会表现出周期性的规律。

先说第一个问题，电子坠入原子核这是经典力学和经典电磁学预测出来的结果，只要你相信经典物理学在原子尺度上是正确的，那么卢瑟福的原子必定坍塌。

那么玻尔是如何考虑这个问题的？他必须在经典物理学和卢瑟福原子模型之间做出选择，很显然他相信自己老师的模型是正确的。

那玻尔就要回答为什么原子没有坍塌？玻尔认为，这只能说明，经典物理学的某些结论在微观尺度上并不适用。

要想原子不坍缩，只能假设电子可以在某些特定的轨道运行，在这些轨道上运行的电子，并不释放辐射。

这些轨道被称为电子的稳定态轨道。也就是说，电子在核外的轨道并不像经典物理学认为的那样，可以在任意距离上绕核运行，而是电子有特定轨道，并不连续。

举个容易理解的例子，比方说，我们的太阳系只有太阳和地球，地球绕太阳的轨道可以是任意的大小，地球距离太阳可以是0.8亿公里，可以是1亿公里，可以是1.333亿公里，你能想到的任何数字都可以。

但玻尔现在说，地球只能在距离太阳1亿公里、2亿公里、3亿公里的轨道上运行，除了这些允许的轨道之外，地球不能存在于任何轨道之上。

对于电子来说也一样，它只能在特定的轨道上运行，在这些轨道上原子是稳定的，而不会坍塌。

这就是玻尔找到的第一条线索，假设稳定态轨道的存在，或者说电子的轨道不连续。不过，玻尔很清楚，这里存在一个循环论证的问题，即：为什么电子存在稳定态轨道，因为在这些轨道上电子不辐射能量，那为什么电子在这些轨道上不辐射能量，因为这些轨道是稳定态轨道。

你看，这种循环论证很显然没有说服力，所以玻尔需要找到第二条线索来解释，为什么电子的轨道不连续，电子在这些轨道上所具有的能量是多少？以及各个稳定态轨道的半径是多少？

玻尔为了考虑这个问题，工作也不准备要了，1912年的年底请了几个月的假，专门找了一个僻静的乡下思考这个问题。

在圣诞节前夕，他无意中在约翰·尼科尔森的论文中发现了关键性的一点，也是玻尔需要找到的第二条线索。

尼科尔森这个人，玻尔并不陌生，他在剑桥学习的时候见过这个人，当时并没有给玻尔留下多少印象，尼科尔森在自己的论文中论证了这样一件事。

在经典物理学中，任何有质量的物体在运动的时候都有动量，那动量怎么算？质量乘以速度，一个做圆周运动的物体也有动量，不过他叫角动量，角动量等于质量乘以半径再乘以线速度。

经典物理学对角动量的大小没有做任何的限制，也就是说角动量也是连续的，但是尼科尔森发现，电子的角动量并不是连续的。

它的角动量必须是h/2Π的整数倍，h/2Π为角动量量子，是角动量的最小单位，用h把表示，也叫约化普朗克常数；

比如一个电子的角动量只能是1倍的h把，2倍的h把，3倍的h把，等等，直到n倍的h把。

这就是玻尔找到的第二条线索，在这期间玻尔多次写信告诉卢瑟福，他会尽快把原子论文交给他。卢瑟福回信说：不要给自己太大的压力。但玻尔清楚，他的同行现在也在研究原子模型，所以玻尔非常着急。

玻尔现在知道了为什么原子只能在特定的轨道上运行，因为它的角动量是量子化的，所以它的轨道也是量子化的。

玻尔用字母n表示电子的轨道量子数，n只能是正整数，在每个轨道上电子都拥有自己特定的轨道能量，称为能级，用En表示。

玻尔以氢原子为例，计算出了氢原子的各个电子轨道能级的大小，以及轨道半径的大小，比如 n等于1的时候，电子处在最低的能级，称为基态，能量为-13.6电子伏特，ev是能量单位，表示一个电子在通过1伏特的电势差之后，所获得的动能。

这个能量单位非常小，专门是用来表示原子层面上的能量，我们日常生活中不会使用到电子伏特，而是会用到焦耳。原因是电子伏特太小，写起来很麻烦。

例如，1电子伏特等于1.602×10^-19焦耳，每瓦等于每秒1焦耳，生活中100瓦的灯泡释放的能量如果用电子伏特表示的话，可以写成：6.24×10^20电子伏特/秒。这是一个天文数字，足以见得电子伏特的大小。

回到正题，接着说原子，基态的能量算出来了，那其他能级的能量呢？其他能级也叫激发态，玻尔发现其他能级的能量等于基态的能量除以轨道量子数的平方，即（E/n），比如n等于2时，这个能级的轨道能量等于-13.6ev/4，结果是-3.4ev。

玻尔还计算出电子处在基态时，氢原子的大小为5.3纳米，其他能级的轨道半径为基态的轨道半径乘以n的平方。比如基态的轨道半径为r，那么n等于2的轨道半径就是4r，以此类推为9r，16r。

到现在为止，玻尔已经建立了一个量子化的原子模型，但是一个正确的理论，需要解释一些以前人们无法解释的现象，不然这个理论就空有一副皮囊，毫无用处。

所以玻尔还需要找到第三条线索，来完成自己的原子论文，那么第三条线索在哪？他的一位朋友汉斯·汉森，是玻尔在哥本哈根大学认知的，这位朋友现在也从国外留学回来，他留学的地方是德国的歌根廷大学，前面的视频说过，德国是光谱学研究的前沿阵地。

汉斯当然也掌握了不少的光谱学知识，他问玻尔，你的原子模型能不能解释原子的发射光谱？他建议玻尔了解下氢原子光谱的巴尔末公式。关于原子的发射光谱我们在之前的视频有详细地说到，这里就不重复了。

不过说到巴尔末公式，我们还得把时间倒回到1850年，这一年物理学家安德斯详细地测量了氢原子的的发射光谱，在可见光中，氢原子有四条光谱线，分别落在了红光、绿光、蓝光、紫光的区域，对应的波长为656.210、486.072、434.01和410.12纳米。

当时的人们就很好奇，你说这原子的光谱线是怎么来的？为什么是分立的而不是连续的？这两个问题很难回答，是今天玻尔即将要解决的问题。

不过当时的人们还是做出了一个巨大的突破，既然已经测量出了氢原子在可见光中的四条光谱线的波长，那么这些波长之间有什么关系？能不能用一个数学公式来表示一下。

这就要提到一位瑞典中学的数学老师了，他叫约翰·巴尔末，他经常给朋友抱怨说，自己每天都过得都很无聊，也没有啥数学难题困扰他，他的朋友就告诉巴尔末，要不你来算算氢原子光谱线的波长之间有啥关系，也就是上面那四个数字之间的关系。

这位老爷子还真是牛，难怪他整天无聊，在1884年的6月巴尔末真就用一个公式把这四条光谱线表示了出来。这个公式长这样。

公式中m和n都是正整数，b是常数，值为364.56纳米。当我们让n等于2的时候，m分别取3、4、5、6，算出来的波长正好就是上面的四个数字，还真的是神奇。这四条线现在也被称为氢原子光谱的巴尔末系。

巴尔末老爷子就想，这个n能不能是其他数呢？比如n等于3，m取4、5、6、7，算出来的个波长又代表了什么？

事实证明，巴尔末公式预测出了氢原子在红外区域的发射光谱，1908年这些光谱线被帕邢发现，命名为帕邢系。

那n等于1呢？m轮番取值，又是啥？这是氢原子的在紫外线区域的发射光谱，现在叫莱曼系。

不得不说，数学真的是神奇，难怪人们说数学是大自然的语言。巴尔末公式很成功地预言了氢原子的发射光谱，但是没有一个人知道为什么这个公式这么管用？没人知道这其背后的物理学意义。

当玻尔看到这个公式之后，立马知道了是咋回事。这不就是电子在不同能级之间跃迁嘛。当n等于1，这就是基态，m等于2、3、4、5、6，这些都是激发态，每一个激发态的电子向基态跃迁都会以电磁波的形式释放出两个能级之间的能量差。波长可以用普朗克-爱因斯坦公式直接算出来。

至此，玻尔完成了对卢瑟福原子的改造，量化原子模型，他量化了电子的角动量，为原子模型加入了一个量子数，可以叫它轨道量子数，现在称为主量子数，用n表示。

1913年的3月玻尔把论文的第一部分给了卢瑟福，你可能会觉得奇怪，这时的玻尔已经完全独立了，为什么要先交给卢瑟福，而不是直接发表。

原因很简单，玻尔虽然独立，但毕竟还很年轻，如果能有一位德高望重的人物给论文写个寄语啥的，可以提高影响力，也能让论文快速得到发表。

其次也是最重要的一点，玻尔真的很敬重自己的老师，尽然曾经卢瑟福的犹豫不决导致了玻尔错失了一项发现，但在玻尔心里卢瑟福对他的评价依旧很重要。

卢瑟福在看了论文以后，还真的提出了不少批评的意见，比如玻尔说的电子跃迁，从一个轨道闪现到另外一个轨道，就像王者荣耀里的闪现技能，让卢瑟福觉得像撞了鬼一样，无法接受。

还有，假如电子现在处在了第三激发态，他可以像第二轨道和基态跃迁，那么电子如何选择它向哪个轨道跃迁？

假如它跃迁到了第二激发态，那么为什么电子选择了第二激发态而不直接选择基态？假如电子直接跃迁到了基态，它为什么不选择先去第二激发态？

在卢瑟福看来，电子好像有自由意志一样，说白了就是违反了因果律，你看，从玻尔这里人们的世界观就开始出现了裂痕，不过卢瑟福想到这也没多想，也没多为难玻尔，因为玻尔也拿不出答案。

就在1916年的时候，爱因斯坦也发现了电子跃迁时候违反了因果律，需要用概率去解释它跃迁的时间，以及跃迁的能级，爱因斯坦第一次把概率引入了量子论，他还专门写信给波恩说，自己接受不了自己发现的概率解释。现在看来，爱因斯坦挺有趣的，自己推动了量子论的发展，最后自己却接受不了。这件事，后面的视频我们会再次提到。

卢瑟福除了以上两点接受不了以外，他还嫌弃玻尔把论文写得太长了，要求缩减篇幅。玻尔这次是死磕到底，说啥都不会改自己的论文，一个符号都不行。

可能是玻尔上次吃了亏，这次长记性了，不停地卢瑟福写信，还专门跑到曼彻斯特找卢瑟福，待在老师家里不走，卢瑟福这次被玻尔搞的精疲力尽，最后做出了让步，同意玻尔发表论文。

1913年的7月、9月、11月，玻尔的三篇论文一字未改的发表在了《哲学杂志》上，史称“三部曲”。

在往后的10年间，玻尔利用自己的原子模型去解释元素周期表的问题，也就是开头我提到的第二个问题。

而在这10年间，年轻的小伙子们，泡利、海森堡、狄拉克正在成长，他们的学习生涯中听得最多的就是玻尔的原子理论对原子光谱，以及元素周期表的解释，都奖玻尔视为自己的偶像。

不过，玻尔的原子模型发表以后并没有立即获得人们的认可，他还需要两个实验的验证。这是我们下个视频的内容。

从这以后，我们就真正地涉足了量子世界，你会发现很多不可思议的现象。

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